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(一個の)質点に対しての角運動量とトルク

円運動を考える

質点（質量m）の座標を

のとき（, は定数）角運動量Lを計算しよう．

線運動量pは, まず, は定数であることを宣言して、

で求めることができる．

従って、L は

この結果は

より、角運動量Ｌ の方向はz軸の方向でその大きさは

であることがわかる．この値は時間によらない．言い換えると”運動の定数”である〔保存量）といえる．角運動量は保存されている．

ここで、

は、慣性モーメントと呼ぶ．角運動量Ｌ は、従って、

と書ける．ここで、はベクトルで大きさはで方向はｚ軸の方向である．

トルクと角運動量

角運動量Ｌ は

で定義されているが

であるから

が成り立つ．すなわち、トルクは

である．

中心力

力が常に原点方向を向いている力を中心力という．万有引力はその例である．電磁気学のクーロン力も中心力である．質点の位置xが中心力Fに平行な場合、トルクtau は

であるが、これは明らかにゼロである．中心力が働いている系の角運動量Lは保存量である．

さて、質点の位置xが

である時、中心力はもちろん

とかける．

トルク（回転のモーメントとも言う）を計算すると

すなわち、角運動量は保存される．

実際、角運動量Lを計算すると

となるが、これは時間によらない．これは万有引力の場合、ケプラーの第二法則（面積速度一定）の法則として知られている．

角運動量Lを時間t で微分すると（トルクをもとめる）

となるが、上より

であるから

となり、即ち、

が証明され、議論に矛盾のないことがわかる．