<< Utilities`Notation`

Symbolize[\(expr_\_0\)]

(一個の)質点に対しての角運動量とトルク

円運動を考える

質点（質量m）の座標を

(Overscript[r, ⇀]) =  (Subscript[r, 0]) {Cos[ω t],  Sin[ω t], 
          0}

のとき（(Subscript[r, 0]), ω は定数）角運動量Lを計算しよう．

線運動量pは, まず(Subscript[r, 0]), ω は定数であることを宣言して、

SetAttributes[{(Subscript[r, 0]),  ω},  Constant]

(Overscript[p, ⇀])=m ((\[DifferentialD](Overscript[r, ⇀]))/(\[DifferentialD]t))

で求めることができる．

従って、L は

(Overscript[L, ⇀]) = 
      (Overscript[r, ⇀])\[Cross](Overscript[p, ⇀])

この結果は

Simplify[%]

より、角運動量Ｌ の方向はz軸の方向でその大きさは

m (Subscript[r, 0]^2) ω

であることがわかる．この値は時間によらない．言い換えると”運動の定数”である〔保存量）といえる．角運動量は保存されている．

ここで、

I  == m (Subscript[r, 0]^2)

は、慣性モーメントと呼ぶ．角運動量Ｌ は、従って、

(Overscript[L,  ⇀])  == 
      I (Overscript[ω,  ⇀])

と書ける．ここで、(Overscript[ω,  ⇀]) はベクトルで大きさはωで方向はｚ軸の方向である．

トルクと角運動量

角運動量Ｌ は

(Overscript[L,  ⇀])  ==  (Overscript[r,  ⇀]) \[Cross](Overscript[p,  ⇀])

で定義されているが

((\[DifferentialD](Overscript[r,  ⇀]) )/(\[DifferentialD]t))\[Cross](Overscript[p,  ⇀]) ==0

((\[DifferentialD](Overscript[p,  ⇀]) )/(\[DifferentialD]t))==(Overscript[F,  ⇀])

であるから

((\[DifferentialD](Overscript[L,  ⇀]) )/(\[DifferentialD]t))==(Overscript[r,  ⇀]) \[Cross]((\[DifferentialD](Overscript[p,  ⇀]) )/(\[DifferentialD]t))+((\[DifferentialD](Overscript[r,  ⇀]) )/(\[DifferentialD]t))\[Cross](Overscript[p,  ⇀]) ==(Overscript[r,  ⇀]) \[Cross](Overscript[F,  ⇀])

が成り立つ．すなわち、トルクτ は

(Overscript[τ,  ⇀]) ==((\[DifferentialD](Overscript[L,  ⇀]) )/(\[DifferentialD]t))== (Overscript[r,  ⇀]) \[Cross] (Overscript[F,  ⇀])

である．

中心力

力が常に原点方向を向いている力を中心力という．万有引力はその例である．電磁気学のクーロン力も中心力である．質点の位置xが中心力Fに平行な場合、トルクtau は

(Overscript[τ,  ⇀])  == (Overscript[r,  ⇀]) \[Cross] (Overscript[F,  ⇀])

であるが、これは明らかにゼロである．中心力が働いている系の角運動量Lは保存量である．

さて、質点の位置xが

r =.

(Overscript[x, ⇀]) = {r Cos[θ], r Sin[θ], 0}

である時、中心力はもちろん

(Overscript[F, ⇀]) =  (Subscript[F, 0]) { Cos[θ],  Sin[θ], 
          0}

とかける．

トルク（回転のモーメントとも言う）を計算すると

Simplify[(Overscript[τ, ⇀]) == 
        (Overscript[x, ⇀])\[Cross] (Overscript[F, ⇀])]

すなわち、角運動量は保存される．

実際、角運動量Lを計算すると

(Overscript[L, ⇀])=Simplify((Overscript[x, ⇀])\[Cross](m ((\[DifferentialD](Overscript[x, ⇀]))/(\[DifferentialD]t))))

となるが、これは時間によらない．これは万有引力の場合、ケプラーの第二法則（面積速度一定）の法則として知られている．

角運動量Lを時間t で微分すると（トルクをもとめる）

SetAttributes[m,  Constant]

((\[DifferentialD](Overscript[L, ⇀]))/(\[DifferentialD]t))

となるが、上より

Eliminate[
      m Dt[(Overscript[x,  ⇀]) , {t, 2}] == (Overscript[F,  ⇀]) , 
      (Subscript[F, 0])]

であるから

Simplify[%]

となり、即ち、

((\[DifferentialD]L)/(\[DifferentialD]t))==0

が証明され、議論に矛盾のないことがわかる．