質点系の運動

いまn個の質点からなる質点系を考えよう．　i番目の質量を(Subscript[m, i]), 位置ベクトルを(Subscript[r, i]) とすると、運動方程式は

(Subscript[m, i]) (((\[DifferentialD]^2) (Subscript[r, i]))/(\[DifferentialD](t^2)))==(Subscript[F, i]) +          (∑_(j (i ≠ j))^n) (Subscript[F, ij])

ここで外力は(Subscript[F, i]), 内力を(Subscript[F, ij])とした． 両辺をiについて加えると、

(∑_(i = 1)^n)(Subscript[m, i]) (((\[DifferentialD]^2) (Subscript[r, i]))/(\[DifferentialD](t^2)))==(∑_(i = 1)^n) (Subscript[F, i]) +   (∑_i^n)  (∑_(j (≠i))^n) (Subscript[F, ij])

となるが、作用・反作用の法則により

(Subscript[F, i j]) ==  -(Subscript[F, ji])

であるから、

(∑_(i = 1)^n)(Subscript[m, i]) (((\[DifferentialD]^2) (Subscript[r, i]))/(\[DifferentialD](t^2)))==(∑_(i = 1)^n) (Subscript[F, i])

となる．質量中心（重心）(Subscript[R, c])を

(Subscript[R, c]) = (((∑_(i = 1)^n) (Subscript[m, i]) (Subscript[r, i]))/((∑_(i = 1)^n) (Subscript[m, i])))

とし、全質量Mを次のように定義する．

M = (∑_(i = 1)^n) (Subscript[m, i])

また、全外力をFとすると、

F  = (∑_(i = 1)^n) (Subscript[F, i])

従って、運動方程式は

M (((\[DifferentialD]^2) (Subscript[R, c]))/(\[DifferentialD](t^2))) == F

となり、質量中心は外力Fを受けて運動する質量Mの物体の位置ベクトルに対応する．

また、全運動量Pを次のように定義すると、

P==M ((\[DifferentialD](Subscript[R, c]))/(\[DifferentialD]t))==(∑_(i = 1)^n)(Subscript[m, i]) ((\[DifferentialD](Subscript[r, i]))/(\[DifferentialD]t))==(∑_(i = 1)^n) (Subscript[m, i]) (Subscript[v, i])

運動方程式は

((\[DifferentialD]P)/(\[DifferentialD]t))== F

となる．すなわち、「全運動量の時間的変化率は全外力の和に等しい」．

特に、F==0の時は、

((\[DifferentialD]P)/(\[DifferentialD]t))== 0

で,P はコンスタントである．すなわち、「質点系に作用する外力の和がゼロのときは、全運動量は保存する」．これを運動量の保存則という．