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仕事・エネルギーの定理

物体にされた仕事はその物体の運動エネルギーの変化分に等しい．これを仕事・エネルギーの定理と呼ぶ．

この定理は散逸系（非保存系）でも適応できる．

導き方

ニュートンの第二法則は

であるが

であることに注意すると

または

従って積分すれば

を得る．

例１

物体（質量m)が摩擦係数muの平面を初速度v0で滑り停止する場合を考える．摩擦力は

であるから走る距離をxとすると、

となる．（質量 m に依存しないところに注意．）

例 2

物体（質量m)が単振動をしている場合を考えよう．力はバネ定数kを用いて、

と書ける．従って、

となり、

であるから、位置エネルギーと運動エネルギーの和は一定であることがわかる．（力学的エネルギーの保存則）

力学的エネルギーの保存則

一般に仕事かその物体の経路によらないとき（即ち始状態と終状態のみによるとき）系は保存系であるといい、その力を保存力という．この場合、系の運動エネルギーと位置エネルギー（またはポテンシャルエネルギー）の和（力学的エネルギー）は一定である（時間によらない）．これを力学的エネルギーの保存則と呼ぶ．ポテンシャルエネルギーは

と定義される．例えば単振動の場合、

であるから、

または積分をして

となる．（積分常数に任意性があることに注意）．

例１　地球上の重力場における物体（質量m)

座標系を落下の方向をプラスとすると

であるから、

符号に注意．表現は選んだ座標系による．

例２　ニュートンの万有引力の法則　

物体にかかる力（引力）は

とかける．ここでm1, m2は質量を表す．従って、r=r1におけるポテンシャルエネルギーは

一般に無限遠の位置エネルギーをゼロとする．

問　上の例１，２の関連性について述べよ（g とは何か）．

単振動の場合

ここでは力学的エネルギーの保存則から、逆にニュートンの第二法則を導き出してみよう．単振動の場合位置エネルギーUと運動エネルギーKは次のように書ける．

ここで k はバネ定数、 m は質量である．まず、これらは定数であると宣言しておく．

力学的エネルギーの保存則は

両辺を t で微分すると

Dt[x,t] はv であるから(vは一般に０でない）、よって、両辺をvで割れば、

問　ニュートンの万有引力が質量m の物体にかかっているときの運動方程式をその位置エネルギーから求めよ．