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Symbolize[\(expr_\_0\)]

等速円運動

ここでは一定の速さで円運動をする質量mの質点の運動を論じる．円の半径をr0とすると質点の位置は、

r  =  {(Subscript[r, 0]) Cos[ω t],  (Subscript[r, 0]) Sin[ω t]}

と表わすことができる．ここでomegaは角速度である．速度vはrを時間tで微分すればよい．

v=((\[DifferentialD]r)/(\[DifferentialD]t))

v = D[r, t]

?D

速度aはvを時間tで微分すればよい．

a=((\[DifferentialD]v)/(\[DifferentialD]t))

a = D[v,  t]

ここで、

a ==  - (ω^2) r

?==

である．マイナスサインに注意する．また、

v . r

a . v

即ち、rと v 、aと v は垂直である．（Mathematica においては内積は. で表される．）

? .

a を向心加速度とよび、その大きさは

Sqrt[a . a]

?Sqrt

?Simplify

または、

Simplify[(Sqrt[a . a]), {(Subscript[r, 0]) > 0,  ω > 0} ]

で求めることができる．この結果、a= r0 omega^2 であることがわかる．また、　
v=r0 omega であるからa = v^2/r ともかける．

ここで角速度が一定の場合の質点の軌跡をプロットしてみよう．

Do[Show[
        Graphics[{ PointSize[ .05],  
            Table[{Hue[1/(Subscript[r, 0])], 
                Point[{(Subscript[r, 0]) Cos[t],  (Subscript[r, 0]) Sin[t]}]},  {(Subscript[r, 0]),  1,  
                10}]}],   PlotRange -> {{-11,  11},  {-11,  
              11}},  AspectRatio -> 1,  
        Background -> GrayLevel[0]],  {t,  0, 5.8,  .5}]

ここで角速度が半径r0に反比例するとして質点の軌跡をプロットしてみよう．

Do[Show[
        Graphics[{PointSize[ .05], 
            Table[{Hue[(1/(Subscript[r, 0]))], 
                Point[{(Subscript[r, 0]) Cos[(t/(Subscript[r, 0]))], (Subscript[r, 0]) Sin[(t/(Subscript[r, 0]))]}]}, {(Subscript[r, 0]), 1, 
                10}]}], Background -> GrayLevel[0], 
        PlotRange -> {{-11, 11}, {-11, 11}}, 
        AspectRatio -> 1], {t, 0, 50, 1}]

単振動

単振動は、例えば上記の円運動をする質点のｘ軸への投影(projection)と考えても良い．ここでは力が変位 x に比例する場合を考える．バネ定数をk 、質量を m とすると,
運動方程式は

m (((\[DifferentialD]^2) x)/(\[DifferentialD](t^2)))=-k x

と書ける．初期条件がt=0 の時、x[0] =x0, v[0]=v0としてMathematica を使ってこれを解く．

DSolve[{m Dt[x[t], {t, 2}] == -k x[t],  
        x[0] == (Subscript[x, 0]),  x'[0]  ==  (Subscript[v, 0])} ,  x[t],  t]

?DSolve

角振動数ωを

ω = ((Sqrt[k ])/(Sqrt[m]))

とすると

{{x[t] -> 
            (Subscript[x, 0]) Cos[(((Sqrt[k]) t)/(Sqrt[m]))] + (((Sqrt[m]) (Subscript[v, 0]) Sin[(((Sqrt[k]) t)/(Sqrt[m]))])/(Sqrt[k]))}} /. k -> (ω^2) m

Simplify[%,  ω > 0]

となり、求めようとした表現を得る．

?/.

?//.

上でもとめた位置 x[t] ,速度v[t], 加速度a[t]を時間の関数としてプロットしてみよう．簡単のため、初期値はすべて　１であるとする．

x[t_]  = 
      x[t] /. x[t] -> 
          (Subscript[x, 0]) Cos[
                t ω] + (((Subscript[v, 0]) Sin[t ω])/ω)

\(Plot[
      x[t] /. {x\_0 -> 1, 
          v\_0 -> 1, ω -> 1}, {t, \ 0, \ 20}, 
      PlotStyle -> Hue[1], 
      AxesLabel -> {時間, 位置}]\)

\(Plot[
      Evaluate[v[
            t] = \(x'\)[t] /. {x\_0 -> 1, 
              v\_0 -> 1, ω -> 1}], {t, \ 0, \ 20}, 
      PlotStyle -> Hue[ .8], 
      AxesLabel -> {時間, 速度}]\)

\(Plot[
      a[t] = \(x''\)[t] /. {x\_0 -> 1, 
            v\_0 -> 1, ω -> 1}, {t, \ 0, \ 20}, 
      PlotStyle -> Hue[ .6], 
      AxesLabel -> {時間, \ 加速度}]\)

問1　上でプロットした位置、速度、加速度の関係（位相）について論じよ．

問2　上で求めた表現は次のようにも書けることを三角関数の加法定理を用いて証明せよ．

x[t]  =  A Cos[t ω  + α]

ここで、

A = (Sqrt[(Subscript[x, 0]^2) + (((((Subscript[v, 0])/ω)))^2)])

Cos[α] = ((Subscript[x, 0])/(Sqrt[(Subscript[x, 0]^2) + (((((Subscript[v, 0])/ω)))^2)]))

Sin[α] = 
      -((Subscript[v, 0])/(ω 
              (Sqrt[(Subscript[x, 0]^2) + (((((Subscript[v, 0])/ω)))^2)])))