時間微分と位置、速度、加速度との関係

位置をベクトル　r　とし直行座標でその成分を次のように表すことにする．

r = {x, y, z}

速度 v はr を時間tで微分すればよい．

v=Dt[r,t]

これはMathematicaの表記方法で不慣れと思われるが通常の表記だと

v=((\[DifferentialD]r)/(\[DifferentialD]t))

と書ける．(メニューでCell , Convert To,TraditionalFormと選べばよい．)
加速度 a は

a = Dt[v,t]

または、

a=((\[DifferentialD]v)/(\[DifferentialD]t))

と書ける．

等加速度運動

等加速度運動とは加速度 a がコンスタント（一定、時間によらない）である運動をいう．

Clear[a,v]

ここで上で定義したa, v の定義を消しておいた．

速度を求める．

v=∫a\[DifferentialD]t

Mathematica では不定積分の積分常数は表記されない．

t = 0 のときv = v0であったとすると、

v= a t + v0

位置を求める．

r=∫v\[DifferentialD]t

t = 0 のときr = r0であったとすると、

r=((a (t^2))/2)+t v0 + r0

となる．

たとえば　v, r 間の関係は、

Clear[r, v,x]

Eliminate[{r==((a (t^2))/2)+t v0 + r0, v== a t + v0},t]

または、

(v^2)- (v0^2)==2 a (r-r0)

となり、よく知られた関係を得る．

練習問題

例題：重力場で質量m の物体が水平面に対し角度θ の方向に速さvで投げられた場合の運動を論ぜよ．

水平方向の座標をx 、垂直方向の座標をy とする．ニュートンの第二法則をもちいると

DSolve[{m x''[t] ==0, x'[0] == v Cos[θ], x[0] ==0, m y''[t]==-g m,  y'[0] == v Sin[θ], y[0] ==0}, {x[t], y[t]}, t]

したがって、x[t]とy[t]との関係式は

Eliminate[{x==t v Cos[θ], y==(1/2) (-g (t^2)+2 t v Sin[θ])}, t]

Solve[g (x^2)-2 (v^2) x Cos[θ] Sin[θ]==-2 (v^2) y ((Cos[θ])^2), y]

となり、放物線を描くことになる．

Simplify[%]

とも書ける．
これをプロットしてみよう．まず、角度θを４５度とし速度ｖを変える．

Plot[Evaluate[Table[-((g (x^2) ((Sec[θ])^2))/(2 (v^2)))+x Tan[θ]//.{g->9.8,θ->(π/4)},{v,1,10,1}]],{x,0,10},PlotStyle->Table[Hue[.1 n],{n,10}], PlotRange->{0, 3}]

Manipulate[Plot[Evaluate[Table[-((g (x^2) ((Sec[θ])^2))/(2 (v^2)))+x Tan[θ]//.{g->9.8},{v,1,10,.11}]],{x,0,10},PlotStyle->Table[Hue[.1 n],{n,10}], PlotRange->{0, 5}],{θ, 0, Pi/2}]

問１：一般に飛距離ｘは速度vの関数としてどのように表されるか．

次に速度ｖを固定し角度θを変える

Plot[Evaluate[Table[-((g (x^2) ((Sec[θ])^2))/(2 (v^2)))+x Tan[θ]//.{g->9.8,v->10},{θ,.01,Pi/2,Pi/20}]],{x,0,10},PlotStyle->Table[Hue[.1 n],{n,10}], PlotRange->{0, 5}]

Manipulate[Plot[Evaluate[Table[-((g (x^2) ((Sec[θ])^2))/(2 (v^2)))+x Tan[θ]//.{g->9.8},{θ,.01,Pi/2,Pi/100}]],{x,0,11},PlotStyle->Table[Hue[.1 n],{n,10}], PlotRange->{{0,11},{0, 6}}],{v, 1, 10}]

問２：一般に飛距離ｘが最大値をとる角度θは何か。 また、最大初速度v0が与えられているとき、物体が決して到達できない領域を示せ。

一般的な加速度運動加速度運動

加速度 a が時間t の運動を考えよう．

Clear[a,v]

ここで上で定義したa, v の定義を消しておいた．

速度を求める．

v=∫a[t]\[DifferentialD]t

a[t]と加速度がtの関数であると宣言したので、アウトプットが上のようになった．たとえば、

a[t_]= b  t Exp[-c t]

であったとすると、

v

となり、位置xは

x=∫v\[DifferentialD]t

となる．

問３上で求めた位置vは実は正しくない．その理由を考えよ．

問４位置 x  が次のように与えられている．速度、加速度を求めよ．

x=Cos[t] (E^(-3 t))