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斜面を転がり落ちる物体の運動

摩擦のある斜面（水平線とのなす角度をとする）を滑り落ちる質量m、慣性モーメントIm の物体（球、または円柱として半径をRとする）の運動を考察しよう．斜面に沿った方向の力は重力mg Sin[] であるから、摩擦力をfとすると、運動方程式は、

で解くことができる．ここでaは加速度、は角加速度をあらわす．

例１　物体が距離x0滑り落ちたときにかかる時間を求めよ．

マイナスの解は物理的意味をなさないので求める時間は

となる．

例２　物体が距離x0滑り落ちたときの速さを求めよ．

速さv[t]は

であるから、求める速さは、

または、加速度がa であるから、v^2-v0^2==2a(x-x0) という公式を使うと

となり上と同じ解を得る．(もちろん Csc[x] ==1/Sin[x] である）．

アニメーション

滑り落ちる距離x[t]は

でるとして、物体の位置{X, Y}は原点をx0滑り落ちたところとすれば、

となる．したがって、例えば、

課題　慣性モーメントの値をいろいろかえてアニメーションを作ってみよう．結果に対し物理的考察を行え．