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調和振動子のエネルギーは

Energy[n_] = ℏ ω (n + (1/2))

と書ける．ここでnは整数である．(n = 0, 1, 2, ...)

さて、占有率n_bar はボルツマンの分布則より

\(n\&_ = \(∑\+\(s = 0\)\%∞ s\ Exp[\(-\(Energy[s]\/\(k\_B\ T\)\)\)]\)\/\(∑\+\(s = 0\)\%∞ Exp[\(-\(Energy[s]\/\(k\_B\ T\)\)\)]\)\)

となる．

Einstein のモデル

系がただ一つの角振動数omegaを持っていると考える．そうすると、Energy の平均値(avE) は

\(avE\  = 　3\ P\ ℏ\ ω\ \((n\&_ + 1\/2)\)\)

で与えられる．ここでは3P個の振動子が存在すると考えている．

熱容量　CT はavEをTで微分すればよい．

CT  =  D[avE, T]

ここでEinstein温度(Subscript[Θ, E])を導入する

% /. ω -> (Subscript[k, B])/ℏ (Subscript[Θ, E])

また　P k はR (ガス定数）であるので

% /. P -> R/(Subscript[k, B])

これがEinsteinによるモル熱容量の式である．

この関数をプロットしてみよう．

f[x_] = ((3 R Exp[(1/x)])/((x^2) (((Exp[(1/x)] - 1))^2)))

Plot[f[x] /. R -> 8,  {x,  0,  3}]

高温ではデュロン・プティの法則（モル熱容量が3Rになる）を再現するが低温で急速にゼロに値が近づくことに注意．

問１
このEinseinのモデルとDebyeモデルと比較し、議論せよ．