最初に下付けのついている記号が独立したシンボルであると決めておく．

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Symbolize[\(expr_\_1\)]

Symbolize[\(expr_\_2\)]

波動の角振動数を求める（質量の違う原子が交互に１次元的に並んでいる場合）

質量の違う原子が交互に１次元的に並んでいる場合の解は次のMatrixのdeterminantがゼロであるという条件で出てくる．

T = {{2 c - 
            (Subscript[M, 1]) (ω^2), -c (1 + 
                Exp[-I k a])}, {-c (1 + Exp[+I k a]), 
          2 c - (Subscript[M, 2]) (ω^2)}}

FullSimplify[Det[T]]

この値がゼロであるとして、解を求める．

Solve[
      2 (c^2) - 2 c ((Subscript[M, 1]) + (Subscript[M, 2])) (ω^2) + 
          (Subscript[M, 1]) (Subscript[M, 2]) (ω^4) - 2 (c^2) Cos[a k] == 
        0,  ω]

マイナスの解は 物理的に意味がないので、解は、

(Subscript[ω, 1]) = ω /. %[[2]]

(Subscript[ω, 2]) = ω /. %%[[4]]

となる．

k が 1/a に比べて小さい場合

k についてTayler 展開してみよう．

Simplify[Series[(Subscript[ω, 1]^2), {k, 0, 2}], (Subscript[M, 1]) + (Subscript[M, 2]) > 0]

となり、k->0 のとき

(Subscript[ω, 1])

は定数、

(((Sqrt[(c/2)]) a k)/((Subscript[M, 1]) + (Subscript[M, 2])))

に近づくことがわかる．

(Subscript[ω, 2])

の場合は、

Simplify[Series[(Subscript[ω, 2]^2), {k, 0, 2}], (Subscript[M, 1]) + (Subscript[M, 2]) > 0]

となり、k->0 のとき

(Subscript[ω, 2])

は定数、

(Sqrt[2 c ((1/(Subscript[M, 1])) + (1/(Subscript[M, 2])))])

に近づくことがわかる．

結果をプロットする

(Subscript[M, 1]) = 1;
(Subscript[M, 2]) = 2;
a = 1;
c = 1;

g1  = Plot[(Subscript[ω, 1]),  {k,  -Pi/a,  Pi/a}]

g2  = Plot[(Subscript[ω, 2]),  {k,  -Pi/a,  Pi/a}]

Show[g1,  g2]

問１
もしM1とM2が等しければ上の図はどうなるか．物理的な解釈を行え．
問２
音速を求めよ．
問３
M1とM2が等しくない時とき、zone boundary で群速度がゼロになるがなぜか．