Kronig-Penney Potential

以下のような一次元周期ポテンシャルを考える．（パラメター等の定義はKittel の参考書を参照．）

\(Show[Plot[Floor[Mod[x, 2]], \ {x, \ \(-5.5\), \ 5.5}], \ 
      Graphics[{Text["a", \ {1, \ \(- .1\)}], 
          Text["a+b", \ {2, \ \(- .1\)}], 
          Text["-b", \ {\(-1\), \ \(- .1\)}], 
          Text[\*""\!\(U\_0\)"", \ { .3, \ 1}]}], \ 
      Ticks -> None]\)

ポテンシャルがゼロであるところの電子の波動関数を

ψa[x_] =  A Exp[I K x] + B Exp[- I K x]

と定義し、ポテンシャルが(Subscript[U, 0]) であるところの波動関数を次の用に定義する．

ψb[x_] =  C Exp[Q x] +  D Exp[-Q x]

原点のおける波動関数とその微分関数の連続性と、位置aにおける波動関数とその微分関数、各々が、位置-bにおけるその関数にExp[I k (a+b)]をかけたものに等しい(Blochの定理）という境界条件を表現すると、

{ψa[0] == ψb[0],  
      Evaluate[D[ψa[x], x] /. {x -> 0}] == 
        Evaluate[D[ψb[x], x] /. {x -> 0}], ψa[
          a] == ψb[-b] Exp[I k (a + b)], 
      Evaluate[D[ψa[x], x] /. {x -> a}] == 
        Evaluate[D[ψb[x], x] /. {x -> -b}] 
          Exp[I k (a + b)]}

Simplify[%]

であるから、A,B,C,Dの係数からなる行列を作りその行列式がゼロという条件を課すことにする．

coeff = {{1, 1, -1, -1},  {I K,  -I K, -Q, 
          Q},  {(E^(I a  K))  ,  (E^(- I a  K)), -(E^(I (a + b) k - b Q)), -(E^(I (a + b) k + b Q))},  {I (E^(I a  K)) K, -I (E^(-I a K)) K, -(E^(I (a + b) k)) (E^(-b Q)) Q, (E^(I (a + b) k)) (E^(b Q)) Q}}

MatrixForm[coeff]

Det[%]

簡単にすると、

Simplify[ExpToTrig[%]]

したがって、以下の関係がなければならない．

2 K Q Cos[(a + b) k] - 
        2 K Q Cos[a K] Cosh[b Q] + ((K^2) - (Q^2)) Sin[a K] Sinh[
            b Q] == 0

これをプロットしてみよう．

<< Graphics`ImplicitPlot`

このImplicitPlotというのは

?ImplicitPlot

ということである．従って、たとえば、

\(ImplicitPlot[
      Evaluate[\((2\ K\ Q\ Cos[\((a + b)\)\ k] - 
                2\ K\ Q\ Cos[a\ K]\ Cosh[b\ Q] + \((K\^2 - Q\^2)\)\ Sin[
                    a\ K]\ Sinh[b\ Q])\) /. {a -> 2, \ 
              b -> 0.022, \ K -> Sqrt[ϵ], \ 
              Q -> Sqrt[100 - ϵ]}] == 0, \ {k, \ 0, 
        20}, \ {ϵ, \ 0, 30}, \ PlotPoints -> 200, 
      PlotStyle -> Hue[ .6], \ 
      AxesLabel -> {"波数", \ "エネルギ-"}]\)

問１上の図と教科書の図（４．４）を比較し、議論せよ．

問２ たとえば、パラメターを少し変えると

\(ImplicitPlot[
      Evaluate[\((\((2\ K\ Q\ Cos[\((a + b)\)\ k] - 
                  2\ K\ Q\ Cos[a\ K]\ Cosh[b\ Q] + \((K\^2 - Q\^2)\)\ Sin[
                      a\ K]\ Sinh[b\ Q])\))\) /. {a -> \ 2, \ 
              b -> 0.8, \ K -> Sqrt[ϵ], \ 
              Q -> Sqrt[24.5 - ϵ]}] == 0, \ {k, \ 0, 
        20}, \ {ϵ, \ 0, 24.5}, \ PlotPoints -> 200, 
      PlotStyle -> Hue[ .6], \ 
      AxesLabel -> {"波数", \ "エネルギ-"}]\)

といった図も得られる．各自、パラメターを変えていろいろな図を描きそれについての物理的解釈を行え．