1モルの理想気体の体積V0断熱膨張させた（体積をα倍；初期圧力をP0とする）。そのときのした仕事Ｗと最終温度Ｔを求める。一原子分子理想気体の場合はCv=3/2R,γ=5/R 2/3 R=5/3であることに注意。また、ポアソンの関係式P (V^γ)=P0 (V0^γ) を使う。

ポアソンの関係式

P=((P0 (V0^γ))/(V^γ))

であるので、仕事Wは

W[V_]=Integrate[P, {V, V0, V},Assumptions->0<V0<V]

で求めることができる。V= α V0の場合は

W[α V0]

FullSimplify[((P0 V0 (((V0 α))^(-γ)) (-(V0^γ) α+(((V0 α))^γ)))/(-1+γ)), α>0||V0>0]

この仕事がすべて内部エネルギーEの増加に寄与する。従って、

W[α V0]== -Cv (T-T0)

または、

Solve[W[α V0]== -Cv (T-T0)/.{T0->P0 V0/R}, T]

一原子分子理想気体の場合は、

Solve[W[α V0]== -Cv (T-T0)/.{T0->P0 V0/R, γ->5/3, Cv->3/2 R}, T]

FullSimplify[%, V0>0]

または

T==((P0 V0)/(R (α^(2/3))))/.P0->1/V0 R T0

従って、最終温度は初期温度の(1/(α^(2/3)))倍となる。

なお、2原子分子の場合は γ -> 7/5, Cv -> 5/2 Rの置き換えをすればよい。

-((P0 V0 (((V0 α))^(-γ)) (-R (V0^γ) α+Cv (((V0 α))^γ)+R (((V0 α))^γ)-Cv (((V0 α))^γ) γ))/(Cv R (-1+γ)))/.{T0->P0 V0/R, γ->7/5, Cv->5/2 R}

((P0 (V0^(12/5)) α)/(R (((V0 α))^(7/5))))/.P0->1/V0 R T0

FullSimplify[%, V0>0]