調和振動子のエネルギーは

Energy[n_] = ℏ ω (n + (1/2))

と書ける．ここでnは整数である．(n = 0, 1, 2, ...)

さて、占有率\(TraditionalForm\`n\&_\) はボルツマンの分布則より

\(n\&_ = \(∑\+\(s = 0\)\%∞ s\ Exp[\(-\(Energy[s]\/\(k\_B\ T\)\)\)]\)\/\(∑\+\(s = 0\)\%∞ Exp[\(-\(Energy[s]\/\(k\_B\ T\)\)\)]\)\)

となる．

Planck の式

角振動数ωを持っている振動子のEnergy の平均値(avE) は（ゼロ点エネルギーを無視して）

\(avE\  = 　\ ℏ\ ω\ n\&_\)

で与えられる．波数をk (2 π/λ) とする．体積V (= l^3)の空間に存在できるモードの数Ｎは(偏光のの自由度のため２をかける；詳しくは参考書参照）

((2 4 π (k^3))/(3 (((((2 π)/l)))^3)))

従って k と k+Δ k との間にあるモードの数は

ΔN = ((V 3 (k^2) Δk)/(3 (π^2)))

ここでk はω/cであるから

ΔN /. {k -> ω/
            c,  Δk -> Δω/c}

従って、角振動数がωとω+Δωの間にあるエネルギーΔ Eは

\(ΔE\  = \ \(\(　\ ω\ ℏ\)\/\(\(-1\) + 
              E\^\(\(ω\ ℏ\)\/\(T\ k\_B\)\)\)\) \(V\ Δω\ ω\^2\)\/\(c\^3\ π\^2\)\)

これがPlanckの式である．全エネルギーは

\(∫\_0\%∞\(\(\((　\ ω\ ℏ)\)\ \((V\ ω\^2)\)\)\/\(\((\(-1\) + 
                  E\^\(\(ω\ ℏ\)\/\(T\ k\_B\)\))\)\ \((c\^3\ π\^2)\)\)\) \[DifferentialD]ω\)

となり

\(\(　\ π\^2\ T\^4\ V\ k\_B\%4\)\/\(15\ c\^3\ ℏ\^3\)\)

より温度Tの４乗に比例することがわかる．これをStefan-Boltzmann の放射法則という．