第２章　１階微分方程式

１．　同次型微分方程式

与えられた微分方程式が次の形をもっている場合を同次形であるという。

((dy)/(dx))=f((y/x))

右辺は　(y/x) 　だけの関数である。この場合、変数の変換を行うと変数分離形に変形できる。

v=(y/x)

とする。（もちろん、v=(x/y) としてもよい；微分方程式を変数分離形に導いて一般解を求めることができる。）

dy = v dx + x dv

であるので、

f(v) - v≠0 として

(1/(f(v)-v)) dv = (1/x) dx

よって、次の積分をおこなえばｖとｘの関係式を得ることができる。

∫(1/(f(v)-v))dv=∫(1/x)dx

あとは v=(y/x) よりｖを消去し、見やすい形に整理すれば一般解が求まったことになる。

例題１

次の微分方程式を解け。
2 x y y'=(y^2)-(x^2)

解答　 v=(y/x)  とおくと

f[v_]:= 1/2 v-1/2 /v

とかける。よって

∫(1/(f(v)-v))dv==∫(1/x)dx

を計算する。

∫(1/(f(v)-v))\[DifferentialD]v==∫(1/x)\[DifferentialD]x

であるので

-Log[1+(v^2)]==Log[x]+C/.v->y/x

Solve[%, y]

もちろん、b=(e^(-c)) とおけば以下の式を得る。

x^2 +y^2 = b x

例題2

次の微分方程式を解け。
x y'=y+(Sqrt[(x^2)+(y^2)])

解答　 v=(y/x)  とおくと

f[v_]:=  v+ (Sqrt[1+ v^2])

とかける。よって

∫(1/(f(v)-v))dv==∫(1/x)dx

を計算する。

∫(1/(f(v)-v))\[DifferentialD]v==∫(1/x)\[DifferentialD]x

であるので

ArcSinh[v]==Log[x]+C/.v->y/x

Solve[%, y]

問：えられた上の式を変形して(x^2)+(y^2)==(((a+y))^2) (a は定数; a->(e^(-C))）と一般解が書けることを示せ。