第２章　１階微分方程式

１．　変数分離型微分方程式

与えられた微分方程式が変数分離形である場合、

((\[DifferentialD]y)/(\[DifferentialD]x))==((f(x))/(g(y)))

と書けるので、これより

g(y) dy==f(x) dx

積分すると

∫g(y)\[DifferentialD]y==∫f(x)\[DifferentialD]x

例題１

次の微分方程式を解け。
(1+x) y'=1+y

解答　変数分離型であるの.

(dy/(1+y))==(dx/(1+x))

であるので、

∫(1/(y+1))\[DifferentialD]y==C+∫(1/(x+1))\[DifferentialD]x

Solve[Log[1+y]==C+Log[1+x],y]

Exp[c]をｂとおくと

%/.C->Log[b]

とも書ける。

例題2

例題１の微分方程式の解で、ｘ＝１のときｙ＝３となるものを求めよ。

解答　(x, y)=(1, 3)を上の解に代入してｂを求めればよい。

Solve[y==-1+b+b x/.{x->1,y->3}, b]

よって、b=2を一般解に代入すれば

y==-1+b+b x /.b->2

よって解が求められた。

例題3

次の微分方程式を解け。

dy (y (x^2)+(x^2))+dx (x (y^2)+(y^2))==0

解答　変数を分離して

(((x+1) dx)/(x^2))+((dy (y+1))/(y^2))==0

積分をすると

∫((x+1)/(x^2))\[DifferentialD]x+∫((y+1)/(y^2))\[DifferentialD]y==c

これは、

∫((x+1)/(x^2))\[DifferentialD]x+∫((y+1)/(y^2))\[DifferentialD]y==c

(1/x)-(1/y)+Log[x]+Log[y]==c/.c->Log[b]

または、

x y==b (E^((1/y)+(1/x)))