訂正
および
進化的安定状態の求解
１．訂正
定義１の不等式に「for any q≠p」を追加してください．その結果，
u(p,(1-e)p+eq) > u(q, (1-e)p+eq) for any q≠p
となります．
命題２第２の不等式に「for any q≠p」を追加してください．その結果，
if u(p,p)=u(q,p) then u(p,q) > u(q,q) for any q≠p
となります．
命題３条件３）に「pと異なる」を挿入してください．その結果，
３）Support(q)= {i | u(i,p)=u(p,p)}であるような，pと異なる任意のqに対し，
u(p,q) > u(q,q)
となります．
２．進化的安定状態の解法
例題：
タカハトゲームでC=4, V=2としたときの進化的安定状態(ESS)を求めよ。すなわち，
H D
-------------------
H −１ ２
D ０ １
-------------------
に対して，
問１．多型集団として，進化的に安定な「人口分布」を求めよ．
問２．単型集団として，進化的に安定な「混合戦略」を求めよ．
解答（問１）
進化的に安定な人口分布を p = (p1, p2)とする．このとき，
u(1,p) = -p1 + 2*p2
u(2,p) = p2
u(p,p) = -p1*p1 + 2*p1*p2 + p2*p2
である．さて，p1=p2=0はありえないので，場合は３種類ある．
場合１
p1=0を仮定すると，p2=1-p1=1である．ゆえに p=(0,1)．
このとき，u(2,p)=u(p,p)=1となり，命題１に矛盾しない．
場合２
p2=0を仮定すると，p1=1-p2=1である．ゆえに p=(1,0)．
このとき，u(1,p)=u(p,p)=-1となり，命題１に矛盾しない．
場合３
p1とp2がともに０でない場合．命題１より，u(1,p)=u(2,p)=u(p,p)が成り立つ．u(1,p)=u(2,p)より，p1=p2= 1/2 を得る．ゆえに，p=(1/2, 1/2)．
このとき，u(1,p)=u(2,p)=u(p,p)=1/2は確認できる．
したがって，定常状態は p=(0,1)，p=(1,0)，p=(1/2, 1/2)の３つである．
これらの３つに対して，安定分析をすればよい．
離散時間軸のダイナミクス，あるいは連続時間軸のダイナミクスを，コンピュータにプログラミングして，シミュレーションを行うと，p=(1/2, 1/2)だけが安定である．
簡略ダイナミクスでは，手計算で安定分析を行うことができる．
dp1/dt = [(-1+0)p1 + (2-1)(1-p1)]p1(1-p1) =(1-2p1)p1(1-p1)
の符号（正負）を，各定常状態のまわりで調査すればよい．その結果，p=(1/2, 1/2)だけが安定であることが分かる．
また，このやり方を連続時間軸のダイナミクスに適用することもできる．
解答（問２）
進化的に安定な混合戦略を p = (p1, p2)とする．このとき，
u(1,p) = -p1 + 2*p2
u(2,p) = p2
u(p,q) = -p1*q1 + 2*p1*q2 + p2*q2
である．
Step1. 定理３条件１）を使って候補を求める．その方法は，問１の解答の定常解を求める方法（場合１〜場合３）とまったく同じである（実は，混合ナッシュ均衡解を求めていることでもある）．よって， p=(0,1)，p=(1,0)，p=(1/2, 1/2)の３つを得る．以下では，これらが定理３条件２），３）を満足するかどうかを確認する．
Step2.
p=(0,1)のとき，p1=0である．このとき，u(p,p)=1 < 2=u(1,p) なので，定理３条件２）を満足しない．よってこれは進化的安定状態（戦略）ではない．
p=(1,0)のとき，p2=0である．このとき，u(p,p)=-1 < 0=u(2,p) なので，定理３条件２）を満足しない．よってこれは進化的安定状態（戦略）ではない．
p=(1/2, 1/2)のとき，p1とp2は０でないので，定理３の２）の確認は不要である．ついでに，Step1より，{i | u(i,p)=u(p,p)} = {1,2}が確定する．
Step3.
p=(1/2,1/2)のとき，Support(q)={1,2}であるようなqは，q =(q1,q2)の形をしている．ただし，1> q1 >0，1> q2 >0．このとき，q2=1-q1より，
u(p,q)=-(1/2)q1+(3/2)q2=3/2 - 2q1
u(q,q)=-q1*q1 + 2*q1*q2 + q2*q2= 1-2q1*q1
を得る．qがp=(1/2,1/2)と等しくない限り，u(p,q) > u(q,q)なので，定理３の３）を満足している．
以上より，p=(1/2,1/2)が進化的に安定な混合戦略であることが分かる．
別解（問２）
進化的に安定な混合戦略を p = (p1, p2)とする．このとき，
u(1,p) = -p1 + 2*p2
u(2,p) = p2
u(p,q) = -p1*q1 + 2*p1*q2 + p2*q2
である．
Step1. 定理４より，p=(1/2, 1/2)だけが候補である．
これに対して，u(1,p)=u(2,p)=u(p,p)が成立する．
つまり，定理３の１）は確認できる．
Step2.
p=(1/2, 1/2)のとき，p1とp2は０でないので，定理３の２）の確認は不要である．ついでに，Step1より，{i | u(i,p)=u(p,p)} = {1,2}が確定する．
Step3.
p=(1/2,1/2)のとき，Support(q)={1,2}であるようなqは，q =(q1,q2)の形をしている．ただし，1> q1 >0，1> q2 >0．このとき，q2=1-q1より，
u(p,q)=-(1/2)q1+(3/2)q2=3/2 - 2q1
u(q,q)=-q1*q1 + 2*q1*q2 + q2*q2= 1-2q1*q1
を得る．qがp=(1/2,1/2)と等しくない限り，u(p,q) > u(q,q)なので，定理３の３）を満足している．
以上より，p=(1/2,1/2)が進化的に安定な混合戦略であることが分かる．